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撮要：Kempe给出的解释被Heawood举出一个反例推翻。本文分析了Heawood的反例美女人体艺术图片，指出了Heawood反例中径直吸收Kempe换色要领存在的矛盾。通过对Heawood反例的第二次换色要求的分析，进一步讹诈Kempe换色要领，生效解释认知“四色定理”。
关节字：图论 平面图
MR分类号：05C15 肛交
1 小序
“四色定理”又称“四色猜思”，一个多世纪以来，激励了盛大的数学人人和喜爱者的筹办[1][2]。浩荡数学家花了100多年的时候要解释这个听起来很是八成的猜思，效用均以失败告终。1890年，P.J.Heawood指出了Kempe解释中的漏洞，吸收Kempe的“色交换技能”，解释了“五色定理”。1976年7月，好意思国伊利诺大学的两位数学家Kenneth Appel和Wolfgang Hanken用盘算机解释了“四色猜思”竖立。借助于机器解释“四色定理”是当代盘算机应用所获得的一个紧要的配置，但由于问题的八成息争释的复杂，使得此证显着得不很是理思。本文分析了Heawood给出的反例，指出了径直吸收Kempe换色要领存在矛盾导致Kempe换色失败。通过对Heawood反例的第二次换色要求的分析，进一步讹诈Kempe换色要领，解释了“四色猜思”的竖立。
2 Kempe解释及Heawood反例
Kempe通过引入不可免完备集F ={O，P，Q，R}（图1），吸收色交换，“解释”最小图G不存在来解释四色定理。但是在解释G不含构型R时，由Heawood给出了反例（图2）[2]，从而发现了Kempe解释中的破绽。
v
v
P
v
v
Q
O
图1 Kempe解释中的不可完备集
举例，设NG(v)={v1，v2，v3，v4，v5}，π=(Vb，Vr，Vy，Vg)是G-v的一种4染色，图中字母b，r， y，g示意四种不同的神采。v2和v4在Gb，g中是连通的，v2和v5在Gb，y中亦然连通的。因此不管交换Gb，g中的神采如故交换Gb，y中的神采，齐不成空出一种神采来给v。v1和v4在Gr，g中不连通，因此不错接头交换Gr，g含v1分支中的神采（图中括号中的神采）。但π(v3)=r，因此不成空出神采来染点v。又因v3和v5在Gr，y中不连通，是以接头交换Gr，y含v3分支中的神采。于是v3被染上y。神采r虽被空出来了，但此时相邻南北极端6和7齐被换成神采r。由此讲明Kempe的解释中包含了一个破绽。
接下来本文领先分析了Kempe对G不含构型Q的解释，然后分析Heawood反例，终末给出新的解释。
3 Kempe对G不含构型Q
试验图3，要是极端v1，v2，v3 ，v4只用了少于四种的染色，显著把第四种神采对v染色。假若否则，那么v1，v2，v3 ，v4使用了四种神采，设为b，r， y，g。要是v1和v3在Gr，y中不是连通的，那么不错接头交换Gr，y分支中的神采（含v1分支或含v3分支齐不错），从而空出一种神采对v染色。否则，那么Gr，y+v组成一个圈，从而v2，v4在Gb，g中不连通，不错换色，从而空出一种神采对v染色。
由上述解释，咱们不错得到如下引理：
引理1：要是图G的三个极端v1，v3 ，v4吸收三种神采染色且在各自的两色导出子图中齐连通，从而其中必存在一个极端，与染第四种神采的第四个极端在其两色导出子图中不连通。这是解释G不含构型Q的骨子。
6
图2 Heawood反例
v4(g)
v1(r)
v2(b)
v3(y)
v
图3
4 Heawood反例分析
在Heawood反例中，v2和v4在Gb，g中是连通的，v2和v5在Gb，y中亦然连通的，是以不成对它们进行换色。字据引理一，显著v1，v3必分离与其中的一个极端在其两色导出子图不连通，即v1，v4和v3， v5在Gr，g和Gr，y中不连通。Kempe的作念法是分离对其换色，从而得到“解释”。而Heawood反例指出，分离换色后可能得到矛盾的效用。那么其原因在哪儿呢？
通过试验图2，咱们发现，在过程第一步换色之后，其实是得到了一个新的图，只不外某些极端的神采发生了变化，但仍然保捏为4染色。这个恰正是Kempe解释中莫得接头的问题！Kempe莫得试验新图，思虽然的仍然吸收原图的见地进行换色。Heawood收拢这极少指出了其中的问题。如图所示，第一换色完成后，新得到的图中，v3和v5在Gr，y中的权衡发生了变化，依然从不连通变为连通了。显著，要是仍旧按照原图换色，必将得到矛盾。
因此，有必要试验第一次换色完成后新的图的性质，从而得到如下解释。
5 四色解释
假定图G含有构型R，则染色面容有两种情况，如图4(a)和4(b)所示，字母b，r， y，g示意四种不同的神采。要是在v2，v4，v5三个极端中存在两个极端在其两色导出子图中不连通，则不错通过换色，空出一种神采给v。否则v2，v4，v5在其两两两色导出子图齐连通。字据引理1，关于v1和v3，在v2，v4，v5均分离存在一个极端，在其各自的两色导出子图中不连通。要是它们对应于归拢个极端，那么只可如图4(a)所示，此极端为v4。显著不错同期履行换色（对v1和v3处所分支。要是v1和v3连通，则一次换色就可生效），空出g神采给v。
否则，v1和v3分离对应不同的极端，那么只可如图4(b) 所示，其中v1和v4在Gr，g中不连通，v3和v5在Gr，y中不连通。第一步操作，交换Gr，g含v1分支中的神采，得到新的图G’。试验图G’，要是v3和v5在G’r，y中仍旧不连通，那么不错交换G’r，y含v3分支中的神采。这么空出神采r给v。否则，v3和v5在G’r，y中酿成连通的了，这个时候就不成再进行换色（这正是Heawood反例的情况）。但是目下，试验G’r，y+v，目下依然是一个圈了，关于极端v2，v4，依然从Gb，y中连通酿成了G’b，y中的不连通。显著关于G’b，y不错进行换色（对含v2或v4的分支齐不错），从而空出一种神采染v。因此得到图G可染色，从而不存在构型R。四色定理得证。
目下咱们分析在什么样的情况下会导致v3和v5在G’r，y中的权衡发生了变化。第一步换色操作，把Gr，g含v1分支中的r和g神采进行了交换，导致v3和v5在G’r，y中连通。显著子图G’r，y莫得神采g的极端，因此必有一个r色极端是从换色操作得到的。又由于与r色极打量邻的极端神采只但是y，由此推测在原图G中，在子图Gr，g的v1分支中必存在一个g色极端，在其相邻极端中存在两个y色极端，其中一个y色极端在Gr，y的含v3分支中，另一个y色极端在Gr，y的含v5分支中。关于Heawood反例图2来说，这个极端即是7极端。
v4(g)
v1(r)
V5(y)
v
v2(r)
v3(b)
v4(g)
v1(r)
V5(y)
v
v2(b)
v3(r)
6 论断
通过上头的分析，咱们不错毫无疑问的说，“四色定理”是竖立的。而问题的关节则是对Kempe换色要领的进一步应用。
[1] 徐俊明， 图论偏激应用， 合肥：中国科学技能大学出书社，1998
[2] 王树禾， 图论， 北京：科学技能出书社，2004
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